agc031_d A Sequence of Permutations

agc031_d A Sequence of Permutations

https://atcoder.jp/contests/agc031/tasks/agc031_d

https://img.atcoder.jp/agc031/editorial.pdf

Tutorial

对于排列 \(p,q\) 定义 \(pq\) 为一个第 \(i\) 个元素为 \(p_{q_i}\) 的排列,那么 \(f(p,q)=pq^{-1}\)

• \(a_1=p\)
• \(a_2=q\)
• \(a_3=qp^{-1}\)
• \(a_4=qp^{-1}q^{-1}\)
• \(a_5=qp^{-1}q^{-1}pq^{-1}\)
• \(a_6=qp^{-1}q^{-1}p^2q^{-1}\)
• \(a_7=qp^{-1}q^{-1}pqpq^{-1}\)
• \(a_8=qp^{-1}q^{-1}pqp^{-1}qpq^{-1}\)
• \(\cdots\)

观察发现同一元素被消去了许多次,尝试将 \(a_i\) 表示为 \(A_iB_iA_i^{-1}\) 的形式

• \((A_1,B_1)=(id,p)\)
• \((A_2,B_2)=(id,q)\)
• \((A_3,B_3)=(id,qp^{-1})\)
• \((A_4,B_4)=(q,p^{-1})\)
• \((A_5,B_5)=(qp^{-1},q^{-1})\)
• \((A_6,B_6)=(qp^{-1},q^{-1}p)\)
• \((A_7,B_7)=(qp^{-1}q^{-1}p,p)\)
• \((A_8,B_8)=(qp^{-1}q^{-1}p,q)\)
• \(\cdots\)

将 \((A_7,B_7)\) 表示为这样的形式方便发现性质.

发现经过 \(6\) 次迭代后 \((A,p)\) 和 \((A,q)\) 变成了 \((Aqp^{-1}q^{-1}p,p)\) 和 \((Aqp^{-1}q^{-1}p,q)\)

找到循环节后就很好,解决了.