信息熵和图像熵

1、信息熵

作者：滴水
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来源：知乎
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信息熵，信息熵，怎么看怎么觉得这个“熵”字不顺眼，那就先不看。我们起码知道这个概念跟信息有关系。而它又是个数学模型里面的概念，一般而言是可以量化的。所以，第一个问题来了： 信息是不是可以量化？

起码直觉上而言是可以的，不然怎么可能我们觉得有些人说的废话特别多，“没什么信息量”，有些人一语中的，一句话就传达了很大的信息量。

为什么有的信息量大有的信息量小？

有些事情本来不是很确定，例如明天股票是涨还是跌。如果你告诉我明天NBA决赛开始了，这两者似乎没啥关系啊，所以你的信息对明天股票是涨是跌带来的信息量很少。但是假如NBA决赛一开始，大家都不关注股票了没人坐庄股票有99%的概率会跌，那你这句话信息量就很大，因为本来不确定的事情变得十分确定。

而有些事情本来就很确定了，例如太阳从东边升起，你再告诉我一百遍太阳从东边升起，你的话还是丝毫没有信息量的，因为这事情不能更确定了。

所以说信息量的大小跟事情不确定性的变化有关。

那么，不确定性的变化跟什么有关呢？
一，跟事情的可能结果的数量有关；二，跟概率有关。
先说一。
例如我们讨论太阳从哪升起。本来就只有一个结果，我们早就知道，那么无论谁传递任何信息都是没有信息量的。
当可能结果数量比较大时，我们得到的新信息才有潜力拥有大信息量。

二，单看可能结果数量不够，还要看初始的概率分布。例如一开始我就知道小明在电影院的有15*15个座位的A厅看电影。小明可以坐的位置有225个，可能结果数量算多了。可是假如我们一开始就知道小明坐在第一排的最左边的可能是99%，坐其它位置的可能性微乎其微，那么在大多数情况下，你再告诉我小明的什么信息也没有多大用，因为我们几乎确定小明坐第一排的最左边了。

那么，怎么衡量不确定性的变化的大小呢？怎么定义呢？
这个问题不好回答，但是假设我们已经知道这个量已经存在了，不妨就叫做信息量，那么你觉得 信息量起码该满足些什么特点呢？


一，起码不是个负数吧，不然说句话还偷走信息呢~

二， 起码信息量和信息量之间可以相加吧！假如你告诉我的第一句话的信息量是3，在第一句话的基础上又告诉我一句话，额外信息量是4，那么两句话信息量加起来应该等于7吧！难道还能是5是9？

三，刚刚已经提过，信息量跟概率有关系，但我们应该会觉得， 信息量是连续依赖于概率的吧！就是说，某一个概率变化了0.0000001，那么这个信息量不应该变化很大。

四，刚刚也提过，信息量大小跟可能结果数量有关。 假如每一个可能的结果出现的概率一样，那么对于可能结果数量多的那个事件，新信息有更大的潜力具有更大的信息量，因为初始状态下不确定性更大。

那有什么函数能满足上面四个条件呢？负的对数函数，也就是-log（x）！底数取大于1的数保证这个函数是非负的就行。前面再随便乘个正常数也行。
a. 为什么不是正的？因为假如是正的，由于x是小于等于1的数，log（x）就小于等于0了。第一个特点满足。
b. 咱们再来验证一下其他特点。三是最容易的。假如x是一个概率，那么log（x）是连续依赖于x的。done
c。四呢？假如有n个可能结果，那么出现任意一个的概率是1/n，而-log(1/n)是n的增函数，没问题。
d。最后验证二。由于-log(xy) = -log(x) -log(y)，所以也是对的。学数学的同学注意，这里的y可以是给定x的条件概率，当然也可以独立于x。

By the way，这个函数是唯一的（除了还可以多乘上任意一个常数），有时间可以自己证明一下，或者查书。

ok，所以我们知道 一个事件的信息量就是这个事件发生的概率的负对数。

最后终于能回到信息熵。信息熵是跟所有可能性有关系的。每个可能事件的发生都有个概率。 信息熵就是平均而言发生一个事件我们得到的信息量大小。所以数学上，信息熵其实是信息量的期望。（表达式参考其它答案或者看下面）

2、图像熵

2.1一元灰度熵

    图像熵是一种特征的统计形式，它反映了图像中平均信息量的多少。图像的一维熵表示图像中灰度分布的聚集特征所包含的信息量，令Pi 表示图像中灰度值为i的像素所占的比例，则定义灰度图像的一元灰度熵为：

                                     

其中Pi是某个灰度在该图像中出现的概率，可由灰度直方图获得。（共256个灰度等级）

2.2二维熵

    图像的一维熵可以表示图像灰度分布的聚集特征，却不能反映图像灰度分布的空间特征，为了表征这种空间特征，可以在一维熵的基础上引入能够反映灰度分布空间特征的特征量来组成图像的二维熵。选择图像的邻域灰度均值作为灰度分布的空间特征量，与图像的像素灰度组成特征二元组，记为( i, j )，其中i 表示像素的灰度值(0 <= i <= 255)，j 表示邻域灰度均值(0 <= j <= 255)：

                                     

上式能反应某像素位置上的灰度值与其周围像素灰度分布的综合特征，其中f(i, j)为特征二元组(i, j)出现的频数，N 为图像的尺度，定义离散的图像二维熵为：

                                    

构造的图像二维熵可以在图像所包含信息量的前提下，突出反映图像中像素位置的灰度信息和像素邻域内灰度分布的综合特征。