【LeetCode】4. Median of Two Sorted Arrays 递归

一、概述

给出两个有序数组，找它们的中位数。

时间复杂度要求O(log(m+n))。

二、分析

1、我的方法（没写代码，边界条件太多）

一看时间复杂度要求log，肯定是用二分。那么如何二分呢？想到正常二分法是一次劈一半长度，因此照着平常的思路去做，将长度减半。

维护四个变量，start1，start2，end1，end2。分别表示目前两个数组还剩的部分。

首先找到两个数组各自的中位数mid1和mid2。如果是偶数，要前面那个。这样一来，两个数组分别被分为三部分：

L1      <     mid1      <     R1

L2      <     mid2      <     R2

如果mid1＞mid2，那么由上图可知，L2

注意到L2

这个可以举例，更容易理解。

1 3 5 7 9 L1:1 3  mid1:5  R1:7 9

2 4 6 8 10 L2:2 4  mid2:6 R2:8 10

有mid1

把L2删掉，即令start2=mid2。

同样的，对于R1，有L1、L2、mid1、mid2小于R1，中位数不可能在R1中，把R1删掉，即令end1=mid1。

这样一来，删掉L2，R1，相当于总长度减了半。

对于mid1

一直到有一个数组长度为2或者1的时候。就不能再这么做了。

如果继续这样做，可能会出现减多了的情况，如下例：

4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3

mid1=7，mid2=2，删掉1和8,9,10,11

4 5 6 7

2 3

mid1=5，mid2=2，删掉6,7

然而结果应该是6

这时就删多了。

因此当长度为1或2，就应退出循环。

也就是说，我这种算法，最多能把问题退化成一个数组和一个或两个数组合，求中位数。还是麻烦，情况很多。

2、较好的方法

“找第k个数”，也就是“找k-1个数，它们比第k个数小”，也就是“找最小的k-1个数”。

首先明确一点，第k个数，指的是从第1个开始数，不是第0个。

比如说：

1 3 5 7 9

2 4 6 8

第k个指的是第5个数，也就是5。

思路如下：

找中位数→找第len/2的数→不好找→退而求其次→找第几个数好找呢？→找第一个数→就是两个数组的第一个中的较小那个

                                                                                    →只有一个数组→直接找另一个数组的第k个数

因此只要最后将“找第k个数”退化成“找第1个数”或者“令一个数组为空”即可。

二分法不再二分长度，而是二分k。

还有一个好处，就是不必考虑奇数长度或者偶数长度的复杂性了。奇数找第k个，偶数找第k个和k+1个即可。十分容易理解。

其实思路与我的思路有相似之处：

找第k个，选择两个数组中第k/2位置的数来比较，k/2是向下取整，先不管为什么分别找第k/2的数，先考虑找到了之后怎么处理：

五种情况：

1、数组a的大于数组b的。

同样以L1 mid1 R1 L2 mid2 R2来处理。这里则有mid1>mid2，因此L2和mid2可以删掉。也即是“最小的k-1个数”中，我们已经找到了L2+1个。然后找k-L2-1个就好了。

2、数组a的小于数组b的。

同样以L1 mid1 R1 L2 mid2 R2来处理。这里则有mid1

3、数组a的等于数组b的。

同样以L1 mid1 R1 L2 mid2 R2来处理。这里则有mid1=mid2，因此L1、L2可以删掉。也即是“最小的k-1个数”中，我们已经找到了L1+L2个。然后找k-L1-L2个就好了。注意这里L1和L2是等于k/2的，因此中位数就直接是mid1或者mid2了。

4、数组a

即数组a的长度不够找k/2个了，那么说明中位数一定不在L2中，把L2和mid2删除即可。

5、数组b

即数组b的长度不够找k/2个了，那么说明中位数一定不在L1中，把L1和mid1删除即可。

举以下几个例子说明：

例一：

2 4 6 8

1 3 5 7 9

k=5，找第5个数。

k/2=2，为简便，令数组a的mid1为第2个，mid2为第3个。

4<5，于是删掉2 4，找第5个变成找第3个。

6 8

1 3 5 7 9

k/2=1，为简便，mid1为第1个，mid2为第2个。

6>3，于是删掉1 3，找第3个变成找第1个。

6 8

5 7 9

找较小的，也就是5，找到了。

例二：

1 3 5 7 9

2 4 6 8 10

k=5，找第k+1也就是第6个。

k/2=3，mid1=5，mid2=6，删掉1 3 5，找第3个。

7 9

2 4 6 8 10

k/2=1，mid1=7，mid2=4，删掉2 4，找第1个。

7 9

6 8 10

找较小的，找6，找到了。

例三：

0 1 2 3

4

k=3，找第k个也就是第3个。

k/2=1，找数组a的第1个，数组b的第2个，数组b没有第2个，因此直接把数组a的第1个删除。

1 2 3

4

k=2，k/2=1，mid1=1，mid2=4，删除mid1,找第1个。

2 3 

4

找较小的，也就是2，找到了。

然后解释为什么是二分k：

从上面我们可以知道，整个过程就是往一个k-1大的桶里扔数，扔满了就完事。那么如何让每次扔的期望最多呢？每次扔k/2个，如果选择k/3，那么好的时候一次扔k*2/3个，坏的时候就得扔k/3个，效率不够平均，不好，因此选择k/2。

由此可以写出代码：

采用递归，函数如下：

double findKth(vector& nums1, vector& nums2,int start1,int start2,int len1,int len2,int k)
    {
        if(len1>len2)
            return findKth(nums2,nums1,start2,start1,len2,len1,k);
        if(len1==0)
            return nums2[start2+k-1];
        if(k==1)
        {
            return min(nums1[start1],nums2[start2]);
        }
        int p=min(k/2,len1);
        int q=k-p;
        if(nums1[start1+p-1]>nums2[start2+q-1])
            return findKth(nums1,nums2,start1,start2+q,len1,len2-q,k-q);
        else if(nums1[start1+p-1]

参数有以下几个：数组a，数组b，a的起始位置（也就是“删除”操作执行后的效果，毕竟不能真删了），b的起始位置，a的产股，b的长度，k值。

为了简化情况，我们一直令较短的为数组a，这样一来，对a找k/2就很直观，不必考虑数组b的长度是否不满足k/2了，也不必考虑数组2的长度是否为0了。

因此首先判断长度，若数组a的长度大于数组b，那么就全掉换。

然后是第一个注意点：

先判断数组a的长度是否为0，为0则直接返回数组b的第k个元素；若长度不为0，再判断k是否等于1。

若是反过来，是这样：先判断k是否等于1，等于1则返回两个数组头中较小的；然后判断是否有数组长度为0。

注意这样一种情况：

我们看这里的start1，其含义是“数组a的起始位置”，是这样得到的，用上一次递归的起始位置加上k/2，也就是“删去L1和mid1”，那么如果存在这样一种情况，数组a只有一个元素，k等于2，而且删去了mid1，那么数组a就不存在元素了，接下来的下一次递归，start1就会溢出，这时进入判断“k等于1”，判断成功，返回值有可能会溢出。见下例：

1 2

3 4

k=3，k/2=1，（k=3是因为偶数个要找第2个和第3个）

mid1=1，mid2=4，删去1；

2

3 4

k=2，k/2=1，

mid1=2，mid2=3，删去2；

-

3 4

k=1，然而数组a不存在元素，出错。

反过来判断则可以防止这种情况。

也就是说：先判断长度，再查看元素，这一点要记住，不光本题，许多题目都要注意这一点。

第二个注意点：p应该是k/2和len1中较小的那个。

同样是为了防止溢出。

然后递归即可。

主函数如下：

double findMedianSortedArrays(vector& nums1, vector& nums2) {
        int m=nums1.size(),n=nums2.size();
        int k=(m+n)/2;
        int len=m+n;
        if(len%2==0)
            return (findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k)+findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k+1))/2;
        else
            return findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k+1);
        }

省去了让人头大的奇数偶数，看一个还是看两个的问题，十分让人舒适。

三、总结

很巧妙的一道题，算法思想应理解。

巧妙之处一大一小：

大的在于二分k而不是二分长度，小的在于一直令短的为数组a简化情况。

PS：代码如下：

class Solution {
private:
    double findKth(vector& nums1, vector& nums2,int start1,int start2,int len1,int len2,int k)
    {
        if(len1>len2)
            return findKth(nums2,nums1,start2,start1,len2,len1,k);
        if(len1==0)
            return nums2[start2+k-1];
        if(k==1)
        {
            return min(nums1[start1],nums2[start2]);
        }
        int p=min(k/2,len1);
        int q=k-p;
        if(nums1[start1+p-1]>nums2[start2+q-1])
            return findKth(nums1,nums2,start1,start2+q,len1,len2-q,k-q);
        else if(nums1[start1+p-1]& nums1, vector& nums2) {
        int m=nums1.size(),n=nums2.size();
        int k=(m+n)/2;
        int len=m+n;
        if(len%2==0)
            return (findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k)+findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k+1))/2;
        else
            return findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k+1);
        }
};