GCN的前前后后详解

参考论文

1. Spectral Networks and Deep Locally Connected Networks on Graph

2. Convolutional Neural Networks on Graphs With Fast Localized Spectral Filtering

3. Semi-Supervised Classification with Graph Convolution Network

（来自paper2）将CNN推广到graph需要三个基本步骤：（i）图上的局部卷积滤波器的设计，（ii）将相似顶点组合在一起的图粗化过程和（iii）交换空间分辨率以获得更高滤波器分辨率的图池化操作。

有两种策略来定义卷积滤波器;无论是从空间方法还是从光谱方法。通过构造，空间方法通过内核的有限大小提供过滤器定位。然而，尽管可以想象空间域中的图卷积，但它面临着匹配局部邻域的挑战，如[4]中所指出的。因此，从空间角度来看，图上的平移没有独特的数学定义。另一方面，频谱方法通过在频谱域中实现的Kronecker delta的卷积在图上提供了一个定义良好的定位算子[31]。卷积定理[22]将卷积定义为在傅立叶基础上对角化的线性算子（由拉普拉斯算子的特征向量表示）。然而，在谱域中定义的滤波器不是自然局部化的，并且由于乘以图Fourier基，因此平移成本很高。然而，通过特殊选择滤波器参数化可以克服这两个限制。

图傅立叶变换

处理在无向连通图

                                                                                                

上定义的信号，其中V是顶点的有限集合，E是一组边，是编码两个顶点之间的连接权重的加权邻接矩阵。在图的节点上定义的信号可以被视为向量，其中是节点处的x的值。谱图分析中的基本算子是图拉普拉斯算子[6]，其组合定义是：

                                                                                            

其中，是带有的对角度矩阵，归一化定义是：

                                                                                         

其中是单位矩阵。

由于L是一个实对称半正定矩阵，它有一套完整的正交特征向量，称为图傅立叶模，以及它们相关的有序实非负特征值，被确定为图的频率。拉普拉斯算子是由傅立叶基

                                                                                     

对角化的，因此在中。然后将信号的图形傅立叶变换定义为：

                                                                                             

将其逆定义 [31]为

                                                                                              

与欧几里德空间一样，这种变换可以制定基本操作，如过滤。

图信号的光谱滤波

图上的卷积运算符在傅立叶域中定义为：

                                                                                     

其中，⊙是元素Hadamard乘积。因此，信号x由过滤为：

                                                                    

其中，这里的y和的y不一样，是对角阵，里面的是一个列向量，(1)式用一个对角阵替代，如下：

非参数滤波器，即其参数全部空闲的滤波器，将被定义为：

                                                                                        

其中参数是傅里叶系数的向量，拉普拉斯特征值组成的向量。

局部滤波器的多项式参数化

然而，非参数滤波器存在两个局限性：（i）它们未在空间中本地化;（ii）它们的学习复杂性在中，即数据的维度。使用多项式滤波器可以克服这些问题：

                                                                                       

其中参数是多项式系数的向量。以顶点i为中心的滤波器的顶点j处的值由给出，其中内核通过具有Kronecker delta函数的卷积进行定位。通过[12，引理5.2]，意味着，其中是最短路径距离，即连接图上两个顶点的最小边数。因此，由拉普拉斯算子的K thorder多项式表示的谱滤波器正好是K-局部化的。此外，他们的学习复杂性是，这是滤波器的支持大小，因此与传统CNN具有相同的复杂性。

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参考paper2（mainly）和paper3