每日一解 俄罗斯农夫算法求1+2+...+n的值

题目

求 1+2+…+n ，要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case等关键字及条件判断语句（A?B:C）。
其中，1 <= n <= 10000。
题目来源：leetcode。

题解

先排除掉不能使用XXX这些限值要求，只看题目目的的话，不难得到如下的for循环代码：

class Solution {
public:
	int sumNums(int n) {
		int answer = 0;
		for (int i = 0; i <= n; i++) {
			answer += i;
		}
		return answer;
	}
};

不妨先尝试去掉for循环。如果不用for循环的话，自然而然就会想到是否要采用递归来解决问题，那么递归的代码如下：

class Solution {
public:
	int sumNums(int n) {
		if (n == 0) {
			return n;
		}
		else {
			return n + sumNums(n - 1);
		}
	}
};

递归的话，就会使用if-else。但是采用条件判断语句（A?B:C）可以很好的代替if-else，那么修改后的代码如下：

class Solution {
public:
	int sumNums(int n) {
		return n == 0 ? n : n + sumNums(n - 1);
	}
};

其实此时已经非常接近最终的答案了。因为只要想办法去掉条件判断语句，用其他的语句代替，就可以得到最终答案了。但是想要想到这样巧妙的方法是不容易的。学习了leetcode官方给出的标准答案，按照&&判断条件实际运行的特点，当&&前面的判断为false的时候，不会运行&&后的判断条件。那么根据这个特点，可以写出替代条件判断语句的代码，如下：

class Solution {
public:
	int sumNums(int n) {
		n && (n += sumNums(n - 1));
		return n;
	}
};

这已经是可以提交的答案了，但是官方给出了更加优化的答案，因为这是一个等差数列求和问题，求和的公式为：$\frac{n(n+1)}{2}$。在该公式基础上，使用俄罗斯农夫算法，就可以在满足题意的情况下得到答案。这里先简单的介绍一下俄罗斯农夫算法：

俄罗斯农夫算法

该算法的具体步骤为：

• 把每一个数字分别写在列头。
• 将头一列的数字加倍，将第二列的数字减半。
  如果在第二列的数字是奇数，将它除以二并把余数去掉。
• 如果第二列的数字是偶数，将其所在行删除。
• 继续加倍、减半和删除直到第二列的数字为1。
• 将第一列中剩余的数字相加。于是就得出了根据原始数字计算出的结果。

那么不妨使用63×74作为例子，看一下计算的步骤：

63	74
126	37
252	18
504	9
1008	4
2016	2
4032	1

其中第二列为奇数的是37，9，1，那么就将126，504和4032相加，得到最终答案4662。其中需要特别注意的是，将63和74调换位置，会变成如下的结果：

74	63
148	31
296	15
592	7
1184	3
2368	1

第二列均为奇数，那么将74，148，296……2368依次相加，同样得到最终答案4662。
按照这个思路，我们可以写出该计算方法的代码版，如下：

class Solution {
public:
	int sumNums(int n) {
		int answer = 0;
		for (int i = n + 1; i; i >>= 1) {
			if (i % 2 != 0) {
				answer += n;
			}
			n <<= 1;
		}
		return answer / 2;
	}
};

那么现在的关键之一就是去掉if，结合此前采用&&代替if的那个答案，不难得到如下的代码：

class Solution {
public:
	int sumNums(int n) {
		int answer = 0;
		for (int i = n + 1; i; i >>= 1) {
			(i % 2 != 0) && (answer += n);
			n <<= 1;
		}
		return answer / 2;
	}
};

那么马上就要接近最后的答案了。还好题目中给了一句关键的补充，
其中，1 <= n <= 10000。
也就是说，因为n有个上限，所以for循环体至多也就会循环14次，那么可以采用很暴力的手动循环方式，去除for语句，如下：

class Solution {
public:
	int sumNums(int n) {
		int answer = 0;
		int i = n + 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;
		(i % 2 != 0) && (answer += n);
		i >>= 1;
		n <<= 1;//共计14次
		return answer / 2;
	}
};

这就是我们采用俄罗斯农夫算法可以得到的答案了，因为不采用递归，因此速度在n较大的情况下要快很多。