机器学习中的线性代数(1):矩阵的基本运算、NumPy库
文章目录
- 矩阵定义
- 定义
- 用NumPy库创建数组、矩阵
- array
- mat
- 矩阵加减
- 定义
- 代码实现
- 矩阵乘法
- 数与矩阵相乘
- 矩阵与矩阵相乘
- 代码实现
- np.multiply
- np.matmul 和 np.dot
- @ 和 *
- 线性方程
- 矩阵的逆
- 报错？
- 矩阵转置
- NumPy库的一些补充
- zeros / ones
- eye
矩阵定义
定义
在《线性代数》教材中，矩阵的定义如下：
由m*n个数aij (i = 1,2,…,m；j = 1,2,…,n)排成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵，简称m * n矩阵。为了表示他是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作
这m * n个数称为矩阵A的元素，数aij位于矩阵A的第i行第j列。
用NumPy库创建数组、矩阵
array
- 一维数组
不额外说明的话，默认的起点是0，步长为1
>>> import numpy as np
>>> a = np.arange(9)
>>> a
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8])
>>> type(a)
<class 'numpy.ndarray'>
起点与步长也可以自行设定，比如：
>>> import numpy as np
>>> a = np.arange(1,9,2)
>>> a
array([1, 3, 5, 7])
其中，1为起点，9位终点，为步长。
- 自定义多维数组
>>> import numpy as np
>>> a = np.array([ [1,2,3],[4,5,6],[7,8,9] ])
>>> a
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
>>> type(a)
<class 'numpy.ndarray'>
也可以用reshape将一维数组转化为多维
>>> b = np.arange(9).reshape(3,3)
>>> b
array([[0, 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8]])
mat
像前文那样定义好数组以后，我们就能以此创建矩阵了。
>>> import numpy as np
>>> b = np.arange(9).reshape(3,3)
>>> B = np.mat(b)
>>> B
matrix([[0, 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8]])
这个矩阵B就是一个3*3维度的矩阵。
矩阵加减
定义
对应元素相加减。不过仅维度相同的矩阵才能相加减
代码实现
# A和B是已经创建好的矩阵
>>> A
matrix([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
>>> B
matrix([[0, 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8]])
>>> A+B
matrix([[ 1, 3, 5],
[ 7, 9, 11],
[13, 15, 17]])
减法也是同理的
矩阵乘法
数与矩阵相乘
矩阵的每个元素都乘以这个数
>>> C = 2*A
>>> C
matrix([[ 2, 4, 6],
[ 8, 10, 12],
[14, 16, 18]])
矩阵与矩阵相乘
矩阵与矩阵相乘的意义这里不再详细描述，这里仅介绍其计算的方法：
第一个矩阵的第 x 行所有元素，分别与第二个矩阵第 y 列的所有元素相乘求和，就构成了新矩阵的第 x 行第 y 列的元素
必须注意：只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。
m * n的矩阵乘以n * m的矩阵，会产生一个m * o的矩阵
代码实现
依然是已经定义好的A和B矩阵
>>> A
matrix([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
>>> B
matrix([[0, 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8]])
在矩阵相乘时，有以下几种基本的方法：
np.multiply
>>> np.multiply(A,B)
matrix([[ 0, 2, 6],
[12, 20, 30],
[42, 56, 72]])
multiply是直接将对应的元素相乘作为新的元素，而不是把行/列相乘求和
np.matmul 和 np.dot
>>> np.matmul(A,B)
matrix([[ 24, 30, 36],
[ 51, 66, 81],
[ 78, 102, 126]])
>>> np.dot(A,B)
matrix([[ 24, 30, 36],
[ 51, 66, 81],
[ 78, 102, 126]])
二者的用法在高维度计算时略有不同，这里不作过多描述
@ 和 *
对于矩阵来说，二者几乎没有什么区别：
>>> A*B
matrix([[ 24, 30, 36],
[ 51, 66, 81],
[ 78, 102, 126]])
>>> A@B
matrix([[ 24, 30, 36],
[ 51, 66, 81],
[ 78, 102, 126]])
但是对于数组：
>>> a*b
array([[ 0, 2, 6],
[12, 20, 30],
[42, 56, 72]])
>>> a@b
array([[ 24, 30, 36],
[ 51, 66, 81],
[ 78, 102, 126]])
这时候我们再看前文提到的multiply：
>>> np.multiply(A,B)
matrix([[ 0, 2, 6],
[12, 20, 30],
[42, 56, 72]])
可知，数组的*与multiply输出结果是相同的
线性方程
在机器学习（1）.中，我曾简略地提到了线性方程的内容。
假定我已经得到了一个线性方程：f(x) = 0.5 + 2x
现在我有一组xt分别等于 2、4、6、8，我们需要用线性方程来预测x分别等于2468时，y的值：
这时我们就可以用矩阵来计算出4组数据：
当我们有多条线性回归方程时也可以用同样的方法来计算：
矩阵的逆
逆的意义和应用会在机器学习系列更新中用到的时候再单独讲，这里仅了解怎么求逆即可
我们可以对矩阵对象直接用 .I 来求逆，非常方便：
>>> A.I
matrix([[ 3.15251974e+15, -6.30503948e+15, 3.15251974e+15],
[-6.30503948e+15, 1.26100790e+16, -6.30503948e+15],
[ 3.15251974e+15, -6.30503948e+15, 3.15251974e+15]])
报错？
AttributeError: ‘numpy.ndarray’ object has no attribute ‘I’
这种报错往往是因为我们想要求逆的对象不是矩阵
>>> c = np.array([ [1,2,3],[4,5,6],[7,8,9] ])
>>> c
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
>>> c.I
Traceback (most recent call last):
File "" , line 1, in <module>
c.I
AttributeError: 'numpy.ndarray' object has no attribute 'I'
- 解决办法： 用np.mat()转为矩阵。
>>> C = np.mat(c)
>>> C
matrix([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
>>> C.I
matrix([[ 3.15251974e+15, -6.30503948e+15, 3.15251974e+15],
[-6.30503948e+15, 1.26100790e+16, -6.30503948e+15],
[ 3.15251974e+15, -6.30503948e+15, 3.15251974e+15]])
矩阵转置
转置的意思就是把行换为列，列再换为行，即aij —— aji。
转置的意义和应用会在机器学习系列更新中用到的时候再单独讲，这里仅了解怎么求转置即可
>>> C
matrix([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
>>> C.T
matrix([[1, 4, 7],
[2, 5, 8],
[3, 6, 9]])
NumPy库的一些补充
zeros / ones
zeros是创建一个元素都为0的矩阵，这样的矩阵也叫零矩阵。
>>> np.zeros((3,3))
array([[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.]])
ones则是创建一个元素都为1的矩阵。
>>> np.ones((3,3))
array([[1., 1., 1.],
[1., 1., 1.],
[1., 1., 1.]])
eye
eye创建了一个单位矩阵：
>>> np.eye(3)
array([[1., 0., 0.],
[0., 1., 0.],
[0., 0., 1.]])
这期内容是对线性代数知识的一些补充，下周发布机器学习第二期/doge
我是康.，希望做一名能帮助到各位的博主！机器学习系列刚刚开坑，请多指教！
除了机器学习，我偶尔还会做一些单片机/嵌入式、Python相关的文章，欢迎感兴趣的小伙伴与我共同学习，一起进步！