λ演算

λ演算是一个具有与图灵机相同计算能力的形式系统，由图灵同学的老师Alonzo Church于20世纪30年代提出。

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定义

对一个形式系统，我们的套路就是分析它的语法和语义。λ演算被很多人吹捧上天的优点就是它的语法和语义都极度简单，其语法如下：

t := x       (variable)
     λx.t    (abstraction)
     t t     (application)

类似谓词逻辑，这里给出绑定和自由变量的定义：

绑定: λx.t中，在t里出现的x称作被绑定
自由变量: x如果没有被绑定，就是一个自由变量

语义规则只有两条：

α-conversion: 可以一个abstraction中所有的绑定变量用另一种符号表示
例子: (λx.t[x]) → (λy.t[y])

β-reduction: 可以把一个abstraction中所有绑定出现的变量替换成参数
例子: ((λx.t) y) → (t[x:=y])

至此，λ演算的定义结束。

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求值

研究语义时，我们需要关心一个语言是否满足confluence，termination两条重要性质。前者是指同一个式子在不同的推导下会得到同样的值；后者是指推导过程不会出现死循环。

为了描述方便，我们定义(λx.t) y这样的形式叫一个redex。

对于λ演算，共有4种求值策略：

• full beta-reduction: 每一步都可以随机选取一个redex进行化简
• normal-order: 一个λ表达式可以用一棵树来表示，每次只能选择树最接近根节点的redex进行化简（如果同一层有多个redex，从最左边的开始）
• call-by-name: 很多同义词，惰性求值，正则序都是
• call-by-value：应用序，每次函数传参时，一定要先求出参数值

这里偷懒了，想形式化定义这4中求值方法的朋友可以参见TAPL这本书的习题5.3.6。

λ演算在full beta-reduction下是满足confluence性质的，具体证明可以参考Church-Rosser属性。对于termination，我们是很容易写出一个死循环的λ表达式的。

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证明图灵完备性

用λ演算逐步构造true，false，分支结构，自然数，加法，乘法，减法，不动点，递归等概念是很有趣的一个过程，强烈推荐初学λ演算的朋友自己推导一遍。可以参考神奇的λ演算。

这篇文章在不动点那一节介绍了著名的Y-combinator，并且展示了它是如何帮助我们找到任意表达式的不动点的。但是在上一节介绍的call-by-value求值策略下，Y-combinator却是会带来死循环的递归构造方法。我们看一个例子：

[定义] Y-combinator: λf.(λx.f(x x)) (λx.f(x x))
[性质] Y g = g (Y g)
[例子] g = λf.λn. isZero n then 0 else plus n (f (pred n))
      sum = Y g
      sum 3 = Y g 3                                   (1)
            = g (Y g) 3                               (2)
            = g ((λx.g (x x)) (λx.g (x x))) 3         (3)
            ... ...

死循环的解释如下：在(2)步时，(Y g)和3都是g的参数，需要先求出(Y g)的值，把g带入Y之后，还需对(x x)优先求值，这样的操作会无限循环下去。因此在这里介绍一种新的Fixed-point Combinator。

[定义] Fixed-point Combinator:  λf. (λx. f (λy. x x y)) (λx. f (λy. x x y))
[性质] Fix g = g (Fix g)
[例子] g = λf.λn. isZero n then 0 else plus n (f (pred n))
      sum = Fix g
      sum 3 = Fix g 3
            = g (Fix g) 3
            = g ((λx. g (λy. x x y)) (λx.g (λy. x x y))) 3     (*)
            = plus 3 (Fix g 2)
            = plus 3 (plus 2 (Fix g 1))
            = plus 3 (plus 2 (plus 1 0))
            = 6

在Fix-point Combinator的推导中，在(*)步骤处，因为没有application，满足call-by-value继续向下进行的条件，所以可以继续推导下去。