数据结构与算法-递归

什么是递归？

递归（英语：Recursion），又译为递回，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。递归一词还较常用于描述以自相似方法重复事物的过程。

在用代码实现时，递归一般是直接或者间接调用函数自身。递归的应用也很广泛，比如在 DFS 深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等。

相关实例

电影院找座位排号问题

当你自己去电影院看电影时(不知道为啥是自己去看电影)，影厅一般很黑，自己按照电影票上的座位号坐下了，健忘的你又把排号忘了，而你又有点强迫症，就想知道自己坐在哪一排，怎么办？看电影票，太黑看不见，看手机购买订单，恰巧是线下买的。最简单的办法就是问你前面那个人是多少排，如果他也不知道，就再问前前一排，一直问到第一排的观众，每一排的观众再把自己所在的排号返回来，这样，你就知道自己是第几排了，这就是递归的思想。（说得有点啰嗦了）

递归的思想就是，把一个问题分解成一个个的子问题和子子问题，然后这些子问题逐级返回，得到最终结果。递归问题还需要一个终止条件，比如在电影院这个问题中，终止条件就是问到第一排的观众。除此之外，每个子问题的求解思路都必须完全一样。下面总结一下递归需要满足的几个条件：

• 一个问题的解可以分解为几个子问题的解。
• 这个问题与分解后的子问题，除了数据规模不同外，求解思路完全一样。
• 存在递归终止条件。

递归算法的核心就是根据一个问题归纳出该问题求解的递推公式，对于这个问题，假如你在第 f(n) 排，那么 f(n) = f(n-1)+1，这就是递推公式，另外终止条件是 n==1，现在用代码实现一下。

def cinema(n):
    if n == 1:
        return 1
    return cinema(n-1) +1
result = cinema(14)
print (result)

上台阶问题

上台阶问题也相当于斐波那契问题，具体描述是这样的：有一个 n 级台阶，一个人从第一级往上走，每次只能走 1 级或者 2 级，问有多少种走法。

下面用逆向思维来考虑这个问题，先看最上面那个台阶 f(n) ，上这级台阶有两种方法<1>，一是迈 1 级上去 f(n-1)，二是迈 2 级上去 f(n-2)，这两种方法又分别有两种相同的子方法<2>，一次分析下去，一直到第 1 级台阶和第 2 级台阶结束。<3>

我标出的 <1>、<2>、<3> 恰好符合递归的条件,递推公式为 f(n) = f(n-1)+f(n-2)，下面用代码实现一下。

def Fbsq(n):
    if (n < 0):
       return -1
    elif (n == 1):
        return 1
    elif (n == 2):
        return 2
    else:
        return Fbsq(n-1) + Fbsq(n-2)
result = Fbsq(10)
print (result)

警惕堆栈溢出

在栈那节这种说过，函数调用是通过栈来实现的，递归需要不断地进行函数调用，相当于不断地压栈，很容易造成堆栈溢出，会造成系统性的崩溃，所以递归求解不适合用在数据规模大的地方。

为了防止堆栈溢出的出现，可以限制递归的深度，但治标不治本，数据规模大的话，还是不用递归为好。

警惕重复计算

看一个这个例子：

重复计算.jpg

里面 f(3) 被多次计算，会无故消耗代码运行时间，为了避免这种重复计算的情况出现，可以将已经计算的 f(n) 保存在一个散列表中，当调用 f(n) 时，可以先看看散列表中有没有，没有的话再计算。

递归代码写成非递归的形式

递归代码都能写成非递归的形式，例如电影院问题，写成非递归的形式为：

def Ncinema(n,result):
    for i in range(n):
        result += 1
    return result
number = Ncinema(14,0)
print (number)

小结

递归需要满足三个条件，递归用在数据规模较小的情况下，要注意堆栈溢出和重复计算，每个递归都能写成非递归的形式。