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连享会-空间计量现场班 (2019年6月27-30日，西安)

原文：How to create animated graphics to illustrate spatial spillover effects

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6 March 2018

作者：Di Liu, Senior Econometrician

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这篇文章展示了如何创建动画图形，以展示空间自回归（SAR）模型生成的空间溢出效应。阅读本文后，您可以创建如下的动态图形。

这篇文章分为如下三个部分。首先，介绍如何估计SAR模型的参数。其次，解释SAR模型为什么可以产生空间溢出效应。最后，展示如何创建一个动态图形来说明空间溢出效应。

SAR 模型

我想分析一下德克萨斯州各县的凶杀率与失业率的关系。我猜想一个县的凶杀率会对邻近县的凶杀率造成影响。

我想回答两个问题。

如何构建这样一个模型，在这个模型中明确的允许一个县的凶杀率依赖于邻近县的凶杀率。
根据这个模型，如果“达拉斯”（得克萨斯州的一个城市）的失业率上升到 10％，那么与达拉斯县邻近的县的凶杀率将如何变化呢？

建立SAR模型

首先，考虑标准线性模型，即某一个县 i 的凶杀率是该县失业率线性函数

SAR模型构建了某一个县 i 的凶杀率依赖于其邻近县的凶杀率。此时，需要一些新的符号来定义 SAR 模型。具体的，如果区域和区域相邻，则设为正数，如果两者不相邻，则为 0 。由于区域不可能和自己相邻，所以当时，也为0。
有了这个符号，构建某一个县的凶杀率依赖于其邻近县凶杀率的SAR模型则可以写成

其中定义了县和县的邻近度。是县的邻近县的凶杀率的加权总和，它表示邻近县的凶杀率对县凶杀率的影响。

将每个县的邻近县的信息按叠加得到一个矩阵，矩阵记录了每个县的邻近县的信息，矩阵称为空间加权矩阵

我们所使用的空间加权矩阵具有特殊的结构;每个元素要么是值，要么是 0，其中大于 0 。这种空间加权矩阵称为归一化邻近矩阵。

在 Stata 中，我们使用spmatrix命令来创建空间加权矩阵，并使用spregress命令来拟合截面 SAR 模型。

首先，我从 Stata 网站下载美国各县谋杀率的数据集，并创建一个仅保留德克萨斯州各县数据的子样本。

. /* Get data for Texas counties' homicide rate */
. copy http://www.stata-press.com/data/r15/homicide1990.dta ., replace

. use homicide1990
(S.Messner et al.(2000), U.S southern county homicide rates in 1990)

. keep if sname == "Texas"
(1,158 observations deleted)

. save texas, replace
file texas.dta saved

直观地，指定所有地域的地图边界的文件被称为shape文件。我们需要从 Stata 网站下载与数据集texas.dta 相匹配的shape数据集homicide1990_shp.dta，这个数据集记载了德克萨斯州所有县的地图边界信息。然后，我们使用spset命令，将数据集texas.dta与shape数据集homicide1990_shp.dta相关联，即将其设定为空间数据。

. /* Get data for Texas counties' homicide rate */
. copy http://www.stata-press.com/data/r15/homicide1990_shp.dta, replace

. spset
  Sp dataset texas.dta
                data:  cross sectional
     spatial-unit id:  _ID
         coordinates:  _CX, _CY (planar)
    linked shapefile:  homicide1990_shp.dta

然后使用spmatrix命令创建一个标准化的空间权重矩阵。

. /* Create a spatial contiguity matrix */
. spmatrix create contiguity W

根据上述数据和空间权重矩阵，可以估计模型参数。

. /* Estimate SAR model parameters */
. spregress hrate unemployment, dvarlag(W) gs2sls
  (254 observations)
  (254 observations (places) used)
  (weighting matrix defines 254 places)

Spatial autoregressive model                    Number of obs     =        254
GS2SLS estimates                                Wald chi2(2)      =      14.23
                                                Prob > chi2       =     0.0008
                                                Pseudo R2         =     0.0424

------------------------------------------------------------------------------
       hrate |      Coef.   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
hrate        |
unemployment |   .4584241    .152503     3.01   0.003     .1595237    .7573245
       _cons |   2.720913   1.653105     1.65   0.100    -.5191143    5.960939
-------------+----------------------------------------------------------------
W            |
       hrate |   .3414964   .1914865     1.78   0.075    -.0338103    .7168031
------------------------------------------------------------------------------
Wald test of spatial terms:          chi2(1) = 3.18       Prob > chi2 = 0.0745

空间溢出

现在我们准备解决第二个问题，利用上文spregress命令估计的结果计算空间溢出效应，具体可以分三步进行。

1. 利用原始数据预测杀人率。
1. 将达拉斯（"Dallas"）的失业率改为10％并再次预测杀人率。
1. 计算两次预测之间的差异并绘图。

. preserve /* save data temporarily */

. /* Step 1: predict homicide rate using original data */
. predict y0
(option rform assumed; reduced-form mean)

. /* Step 2: change Dallas unemployment rate to 10%, and predict again*/
. replace unemployment = 10 if cname == "Dallas"
(1 real change made)
. predict y1
(option rform assumed; reduced-form mean)

. /* Step 3: Compute the prediction difference and map it*/
. generate double y_diff = y1 - y0
. grmap y_diff, title("Global spillover")
. restore /* return to original data */

image

上面的图表显示，达拉斯失业率的变化，不仅影响了达拉斯本地区的谋杀率，也影响了与达拉斯相邻的地区的谋杀率。也就是说，达拉斯的变化波及到附近的县，这种影响被称为溢出效应。

SAR 模型与空间溢出

在本节中，我将说明为什么SAR模型会产生溢出效应。在此过程中，我提供了一个用于创建动画图形的效果公式。
SAR 模型的矩阵形式是

求解的值

给定的值下的平均值，被称为在的条件下的期望。因为独立于，在下的条件期望是

注意，由于是一个向量，这个条件期望公式指定了德克萨斯州每个县的平均值。

我们使用这个等式来定义，当从一组值变化到另一组值后，的变化效果。具体的，为来自原始观察数据中的协变量值；将中达拉斯的失业率修改为 10％，其余数据均保持不变，即为。通过这种表示，我们计算从到的改变导致德克萨斯州每个县的平均谋杀率的变化。

$\begin{array}{l}{E\left(\mathbf{y} | \mathbf{X}_{1}\right)-E\left(\mathbf{y} | \mathbf{X}_{0}\right)} \\ {=(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W})^{-1} \mathbf{X}_{1} \beta-(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W})^{-1} \mathbf{X}_{0} \beta} \\ {=(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W})^{-1} \Delta \mathbf{X} \beta}\end{array} \quad{(1)}$

其中.
现在展示SAR模型中假设的技术条件产生动图的表达式。 SAR模型之所以被广泛使用，正是因为它们满足稳定条件。直观的，这种稳定条件表明逆矩阵可以写成指数大小逐渐减小的项之和。这个条件即为：

将公式(2) 中代入公式(1) 中得到

$\begin{array}{l}{E\left(\mathbf{y} | \mathbf{X}_{1}\right)-E\left(\mathbf{y} | \mathbf{X}_{0}\right)} \\ {=(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W})^{-1} \Delta \mathbf{X} \beta} \\ {=\left(\mathbf{I}+\lambda \mathbf{W}+\lambda^{2} \mathbf{W}^{2}+\lambda^{3} \mathbf{W}^{3}+\ldots\right) \Delta \mathbf{X} \beta} \\ {=\Delta \mathbf{X} \beta+\lambda \mathbf{W} \Delta \mathbf{X} \beta+\lambda^{2} \mathbf{W}^{2} \Delta \mathbf{X} \beta+\lambda^{3} \mathbf{W}^{3} \Delta \mathbf{X} \beta+\ldots}\end{array} \ (3)$

这即为生成动态图形效果的表达式。

(3) 中的每一项都很直观，这在我们所展示的案例中很容易解释。第一项()是初始效应变化,它只影响达拉斯凶杀率。第二项()是改变对达拉斯邻居的结果的影响。第三项()是改变对达拉斯邻居的邻居的结果影响。依次类推，可以得到其他变量的含义。

为溢出效应创建动态图形

我现在描述如何生成动态图。每个图使用公式 (3)中每一项子集绘制变化图。第一个图仅显示第一个项计算的变化。第二个图仅显示从第一项到第二项计算的变化。第三个图仅显示从第一项到第三项计算的变化，以此类推。

代码的前四个步骤执行以下操作。

它计算并绘制。
它计算并绘制。
它计算并绘制。
它计算并绘制。

步骤5到20执行类似的操作。
最后，结合步骤1到步骤20中的图形，创建一个动态图形。

下面的代码展示了此过程：

  1 /* get estimate of spatial lag parameter lambda */
  2 local lambda = _b[W:hrate]
  3
  4 /* xb based on original data */
  5 predict xb0, xb
  6
  7 /* xb based on modified data */
  8 replace unemployment = 10 if cname == "Dallas"
  9 predict xb1, xb
 10
 11 /* compute the outcome change in the first step */
 12 generate dy = xb1 - xb0
 13 format dy %9.2f
 14
 15 /* Initialize Wy, lamWy, */
 16 generate Wy = dy
 17 generate lamWy = dy
 18
 19 /* map the outcome change in step 1 */
 20 grmap dy
 21 graph export dy_0.png, replace
 22 local input dy_0.png
 23
 24 /* compute the outcome change from step 2 to 11 */
 25 forvalues p=1/20 {
 26         spgenerate tmp = W*Wy
 27         replace lamWy = `lambda'^`p'*tmp
 28         replace Wy = tmp
 29         replace dy = dy + lamWy
 30         grmap dy
 31         graph export dy_`p'.png, replace
 32         local input `input' dy_`p'.png
 33         drop tmp
 34 }
 35
 36 /* convert graphs into a animated graph */
 37 shell convert -delay 150 -loop 0 `input' glsp.gif
 38
 39 /* delete the generated pgn file */
 40 shell rm -fR *.png

此代码使用由spregress命令估计过程中所产生的ereturn类的返回值及其相应的predict命令。
第2行将的估计值放在局部暂元lambda中。
第5,7,8和9分别计算和下的，并将其存储在 xb0 和xb1中。
第12行计算第一个术语()并将其存储在dy中。
第16行和第17行存储当时和的初始值。
第20-22行生成动态图中的第一个图。当全部代码完成时，局部暂元input将包含用于创建动态图形中的每一张图形。
第25-34行计算并绘制剩余项目的图形。第 26 行使用spgenerate计算。第27-33行执行与dy类似的操作。
在第37行，我使用Linux工具“convert ”来组合图形以生成动态图形。在Windows上，我可以使用FFmpeg和Camtasia等软件。有关详细信息，请参见Chuck Huber的How to create animated graphics using Stata
第40行删除所有不必要的.png文件。

下面是由此代码创建的动态图形。

image

Done and undone

在这篇文章中，利用德克萨斯州案例，我讨论SAR模型如何解释溢出效应。我还介绍了如何将溢出效应计算为累加和，并利用累积的总和创建了一个动态图形，说明了这些溢出效应是如何在德克萨斯州的各个县蔓延的。

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