《魔鬼数学》第三部分“期望值”读书笔记

作者: [美] 乔丹•艾伦伯格（Jordan Ellenberg）
出版社: 中信出版集团
副标题: 大数据时代，数学思维的力量
原作名: How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking
译者: 胡小锐
出版年: 2015-9-5

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2017.8.23 我在kindle上逛商店的时候，被一本英文书吸引了，名字是How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking，因为我最近几年大脑中形成了一个条件反射，一看到“思维方式”，就像看到尚方宝剑一样兴奋。首先思维方式是一个认知层面的技能，比简单的操作技能要更有价值；其次最近读完的《费马大定律》也让我感觉严谨的数学思维是个好东西。所以我就决定读这本书了，看了一点英文书，虽然能看懂，但是有些吃力，有些内容过于专业，所以决定直接读中文本，书名被翻译成土掉渣的“魔鬼数学——大数据时代，数学思维的力量“（豆瓣链接），我就忍了，内容别翻译烂了就好。
目前读完了全书大约一半内容，我没有从头开始读，读完前言后，就直接读有趣的章节，然后再把对应的整个部分读完。目前感觉这本书很有趣，虽然很多数学故事看起来很简单，甚至之前在网上读过，但是放在更系统的知识块中阐述，令我更有启发。
等读完全书，我会再写一个汇总版本的读书笔记，这儿先简要介绍本书第三部分的观点，写本读书笔记的目的之一是让我重新理解书中观点，但是部分内容没有在这儿展开，尤其是最后一章介绍的投射几何学，有兴趣的读者还是建议读全书；摘抄都是从kindle自动导出。
正文开始之前，迫不及待地单独强调一下第12章中的一句话，大赞，概率之中有平衡思维和智慧，如果你觉得有些不能理解，欢迎去原书找答案。
1982年的诺贝尔经济学奖得主乔治·施蒂格勒（George Stigler）说过：“如果你从来没有误过飞机，那只能说明你浪费在机场的时间太多。”

其次这一部分也展示了跨学科思维，在第13章中，从射影几何学到彩票选号码到信息论降低噪音，看起来都是完全独立的内容，但是从数学的角度看，居然都是相通的，真是有趣。

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第11章 中彩票大奖与期望值理论

以彩票为例，介绍了期望值的概念和应用，从期望值的角度分析合适购买彩票能获得更大的中奖机会。
期望值是所有中奖概率下的平均值。
是否购买彩票，不仅要看彩票的中奖概率，还要看期望值，大部分时候彩票的期望值都低于其票面价格，假如我们把所有的彩票都买下来，整体上也是输钱而非赢钱。彩票是政府获得财政收入的一种手段，所以必然要求彩票的期望值低于其票面价格。
但是马萨诸塞州设计了一种彩票，在特定的日期，彩票的期望值大于其票面价格，数学家借助于数学概念丛中获得巨额利润。

到2007年，在每次累积奖金向下分配之后，彩票的销售量都会达到100万张甚至更多，而其中大多数都被这三个博彩团队买走了。“

数学家能从这种情况中获利的依据，是“期望值的相加性（additivity of expected value）”。【如果一张销售价格为2美元彩票的期望值3美元，购买2万美元的期望值就是3万美元。】

期望值的相加性：两个事物的期望值之和，即第一个事物的期望值加上第二个事物的期望值。

针对“期望值的相加性”，作者介绍了一种赌博游戏及其“复杂版本”。首先介绍最简单的“franc-carrearu”游戏

只要有一枚硬币和由方砖铺成的地板就可以玩“franc-carreau”游戏。人们把硬币扔到地上，然后押下赌注，猜硬币是完全落在一块砖上还是骑在砖缝上。
在论文中，布封提出了一个问题：硬币完全落在一块砖上的概率是多少？砖的面积多大时，这个游戏对双方来说才是公平的？
数学家布封用简单的几何数学给出了答案（画正方形和园，根据相交关系下的占据的面积计算），答案是当砖的边长是硬币半径的4+2^1.5约7倍时，硬币完全落在正方形内的概率是1/2，此时游戏对双方才是公平的。

但是如果把圆形的硬币改成针状物体或者其他形状，游戏的获胜概率又是多少呢？比如布封提出的缝衣针问题。

如果扔到空中的不是埃居（硬币）这样的圆形物体，而是其他形状的物体，例如方形的西班牙皮斯托儿金币，或者一根缝衣针、一根短木棒等，解决这个问题时需要的几何知识就会多一些。”
硬币骑缝的概率并不取决于它的朝向。 但是，布封使用的缝衣针却不同。如果缝衣针的方向与木板条缝的方向近乎平行关系，那么它骑缝的概率会非常低。
我们不仅需要关注缝衣针中心点的位置，还要关注缝衣针的朝向。
只需要运用算术与基础几何知识，其中最重要的就是对期望值相加性的应用！

数学证明，我们可以通过简化问题解答，也可以把问题复杂化（直接证明一般情况下的一般解）。大部分时候，简化是好办法，但是对于使用缝衣针的情况，直接去寻找一般解却更容易。
一般情况:

假设缝衣针与木板缝相交的概率是P，如果缝衣针的长度正好等于两块木板缝的宽度，那么与它相交的木板条缝数的期望值是多少？（1p+0（1-p）=p）
如果缝衣针的长度为N（我们取木板条的宽度作为度量单位），那么与它相交的木板条缝数的期望值是NP。
事实上，对于任意正实数N，无论大小，公式“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”都成立
换言之，对于折弯的缝衣针而言，“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”这一结论也成立。（弯曲的缝衣针可以被尽可能小的分割)
实际上，上述证明过程适用于所有缝衣针，无论它是多边形还是弯曲的，相交木板条缝数的期望值都是Lp，其中L是以木板条宽度为计量单位时缝衣针的长度。即使把一人份意大利面扔到地板上，想知道其中一根面条会骑在几条地板缝上，我也能准确地告诉你它的期望值是多少。这就是布封投针问题的一般形式，数学家们开玩笑说这是“布封的面条问题”。
对于以上的结论，如果缝衣针正好围成一个圆形，结果依然成立。（此时N=2πr，与上面的硬币的答案合并，既可以得到正确的答案）

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第12章 效用理论、风险与不确定性

关键词：效应，平衡，

• part 1

1982年的诺贝尔经济学奖得主乔治·施蒂格勒（George Stigler）说过：“如果你从来没有误过飞机，那只能说明你浪费在机场的时间太多。”
拉弗曲线：效用与候机时间的关系； 候机时间过短（误机）和过长，效用都很低；有一个最高点，对应最高的效用值。
施蒂格勒式的论断适用于各类问题，以政府的浪费行为为例。
我们为什么听任这类事件持续发生呢？答案很简单：与提前赶到机场一样，杜绝浪费行为也需要付出代价。履行义务与保持警惕都是有意义的行为，但是杜绝所有浪费行为，与把误机概率从非常低降到零一样，其成本超过收益。

因此，我们不应该问“政府为什么要浪费纳税人的钱”，正确的问题是“政府浪费纳税人的钱以多少为宜”。用施蒂格勒的话说：“如果我们的政府没有浪费行为，那只能说明他们在反浪费方面花了太多的时间。”

备注1: part1强调效应是一个平衡之下的平均值，就像赶飞机，我们既要兼顾误机的损失，又要考虑过早带来的浪费；所以切莫走极端，凡事过犹不及；就像政府打击腐败，真的做到零容忍，付出的成本远高于接受一定程度的腐败（只不过这样民意有些不好交代）。

• part 2 帕斯卡的赌注与无穷多的快乐
  帕斯卡从效应的角度分析，我们为什么应该信仰上帝。帕斯卡并没有证明上帝存在的概率是100%，而是从期望值和效应的角度分析，即使上帝存在的概率很低，我们依然应该信仰上帝。

如果我们相信上帝存在，并且我们的信仰是正确的，那么回报将是“持久的愉悦”，用经济学家的话说，就是无穷大的效用度。
（假如上帝存在的概率只有1%，）无穷大的愉悦，其1%仍然是无穷大的愉悦，是信仰上帝的有限成本无法比拟
信仰上帝的期望值不仅为正值，而且是一个无穷大的正值。
帕斯卡的目标不是让我们相信上帝存在，而是让我们相信信仰上帝会为我们带来好处，

• part 3圣彼得堡悖论与期望效用理论
  圣彼得堡悖论与伯努利期望理论：

达科特（金钱）的数量加倍，不能理解为效用加倍。
普适性的效用曲线根本不存在。人们心目中的效用曲线并不一样。

期望效应理论：损失厌恶心理

备注：part 3部分与《思考，快与慢》中的“风险”一部分的观点类似，传统的期望理论认为“效用与金钱数量成正比”，但伯努利认为并不是成线性关系，随着金钱的增加，效应的增长变得越来越缓慢； 卡尼曼则进一步强调“损失厌恶”心理，进一步修正了伯努利期望理论。

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第13章 祝你下一张彩票中大奖

关键词：透视现象，射影几何学与选择彩票号码，“法诺平面”；信号与噪音，信息论中如何降低噪音

• part1 射影几何学

平行线也可以相交：立体空间中的平行铁轨，在我们的视野中，在远处一个“消失点”汇合，也就是（三维空间中的）平行线可以（在二维的投射平面中）相交。
这就是“透视现象”（phenomenon of perspective）。我们的视野是二维的，如果我们希望在这个二维视野中描绘三维世界，那么有些东西必然会丢失。

最小的射影平面是以其创建者法诺（Gino Fano）的名字命名的，叫作“法诺平面”。
根据法诺平面，进行Cash WinFall彩票的号码选择，从而提高中奖率。（不是购买一张彩票的中奖概率，而是大量购买时）

• part2 信号与噪音
  信息论中如何避免噪音导致信号失真，同时尽可能在信号抗干扰能力和传输速度之间取得平衡。

香农在他的那篇关于信息论的论文中指出，时至今日，工程师们仍然面临着一个基础性难题：信号抗噪声干扰的能力越强，传输这条信息的速度就会越慢，如何在两者之间取得平衡呢？
几种错误较正码：(1)将所有比特发三遍，(2)海明码，(3)随机编码
“海明码”（Hamming code）是一种把三位数的代码块转换成7位数的代码块的规则，实际上，海明码中的7个非零代码字正好对应法诺平面上的7条直线。。因此，海明码（还包括特兰西瓦尼亚彩票的最佳号码组合）与法诺平面是完全相同的数学研究对象，只不过改头换面了！
但是公理2规定，两条直线只能相交于一个点。换言之，由于几何公理的作用，海明码具有与“重复三次”相同的校正错误的魔力。
这种新方法在传输信息时，每3个比特的原始信息仅需花费7个比特的传输量，两者之间的比为1∶2.33，效率更高。

• part3 非理性行为为什么会存在？
  为什么买彩票的中奖概率很低，彩票价格低于彩票的期望价值；为什么还是很多人趋之若鹜？
  答案是，我们并非按照理性的概率和期望值去行动，我们d行为受到其他方面的影响，比如道德观念，比如行动本身带来的满足感。

实现梦想的行为本身，甚至这方面的尝试，就是一种回报。