数据结构-排序: 插入排序(直接插入排序法)

插入排序(Insertion Sort)的基本思想是：每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子文件中的适当位置，直到全部记录插入完成为止。
    　本节介绍两种插入排序方法：直接插入排序和希尔排序。
1．直接插入排序的基本思想
直接插入排序（Straight Insertion Sorting）的基本思想是：把n个待排序的元素看成为一个有序表和一个无序表，开始时有序表中只包含一个元素，无序表中包含有n-1个元素，排序过程中每次从无序表中取出第一个元素，将它插入到有序表中的适当位置，使之成为新的有序表，重复n-1次可完成排序过程。
把a[i]插入到a[0]，a[1]，...,a[i-1]之中的具体实施过程为:先把a[i]赋值给变量t,然后将t依次与a[i-1],a[i-2],...进行比较,将比t大的元素右移一个位置,直到发现某个j(0<=j<=i-1),使得a[j]<=t或j为(-1),把t赋值给a[j+1].

2、第i-1趟直接插入排序：
    　通常将一个记录R[i](i=2，3，…，n-1)插入到当前的有序区，使得插入后仍保证该区间里的记录是按关键字有序的操作称第i-1趟直接插入排序。
    　排序过程的某一中间时刻，R被划分成两个子区间R[1．．i-1]（已排好序的有序区）和R[i．．n]（当前未排序的部分，可称无序区）。
    　直接插入排序的基本操作是将当前无序区的第1个记录R[i]插人到有序区R[1．．i-1]中适当的位置上，使R[1．．i]变为新的有序区。因为这种方法每次使有序区增加1个记录，通常称增量法。
    　插入排序与打扑克时整理手上的牌非常类似。摸来的第1张牌无须整理，此后每次从桌上的牌(无序区)中摸最上面的1张并插入左手的牌(有序区)中正确的位置上。为了找到这个正确的位置，须自左向右(或自右向左)将摸来的牌与左手中已有的牌逐一比较。

一趟直接插入排序方法

1．简单方法
    　首先在当前有序区R[1..i-1]中查找R[i]的正确插入位置k(1≤k≤i-1)；然后将R[k．．i-1]中的记录均后移一个位置，腾出k位置上的空间插入R[i]。
  注意：
    　若R[i]的关键字大于等于R[1．．i-1]中所有记录的关键字，则R[i]就是插入原位置。

2．改进的方法
　　一种查找比较操作和记录移动操作交替地进行的方法。
具体做法：
    　将待插入记录R[i]的关键字从右向左依次与有序区中记录R[j](j=i-1，i-2，…，1)的关键字进行比较：
    　① 若R[j]的关键字大于R[i]的关键字，则将R[j]后移一个位置；
      ②若R[j]的关键字小于或等于R[i]的关键字，则查找过程结束，j+1即为R[i]的插入位置。
    　关键字比R[i]的关键字大的记录均已后移，所以j+1的位置已经腾空，只要将R[i]直接插入此位置即可完成一趟直接插入排序。

直接插入排序算法

1．算法描述
 

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;

namespace ExInsertionSorter
{
    public class InsertionSorter
    {
        public void Sort(int[] arr)
        {
            for (int i = 1; i < arr.Length; i++)
            {
                int t = arr[i];
                int j = i;
                while ((j > 0) && (arr[j - 1] > t))
                {
                    arr[j] = arr[j - 1];//交换顺序
                    --j;
                }
                arr[j] = t;
            }
        }
        static void Main(string[] args)
        {
            int[] array = new int[] { 1, 5, 3, 6, 10, 55, 9, 2, 87, 12, 34, 75, 33, 47 };
            InsertionSorter i = new InsertionSorter();
            i.Sort(array);
            foreach (int m in array)
                Console.WriteLine("{0}", m);
        }
    }
}

4、直接插入排序的效率分析
（1）时间复杂度
从时间分析，首先外层循环要进行n-1次插入，每次插入最少比较一次（正序），移动两次；最多比较i次，移动i＋2次（逆序）（i=1，2，…，n-1）。若分别用Cmin ，Cmax 和Cave表示元素的总比较次数的最小值、最大值和平均值，用Mmin ，Mmax 和Mave表示元素的总移动次数的最小值、最大值和平均值，则上述直接插入算法对应的这些量为：
Cmin=n-1 Mmin=2（n-1）
Cmax=1+2+…+n-1=（n2-n）/2 Mmax=3+4+…+n+1=（n2+3n-4）/2
Cave=（n2+n-2）/4 Mmax=（n2+7n-8）/4
因此，直接插入排序的时间复杂度为O（n2）。

由上面对时间复杂度的分析可知,当待排序元素已从小到大排好序(正序)或接近排好序时,所用的比较次数和移动次数较少;当待排序元素已从大到小排好序(逆序)或接近排好序时,所用的比较次数和移动次数较多,所以插入排序更适合于原始数据基本有序(正序)的情况.

插入法虽然在最坏情况下复杂性为O(n2)，但是对于小规模输入来说，插入排序法是一个快速的排序法。许多复杂的排序法，在规模较小的情况下，都使用插入排序法来进行排序，比如快速排序。

（2）空间复杂度
首先从空间来看，它只需要一个元素的辅助空间，用于元素的位置交换O(1)

（3）稳定性:
插入排序是稳定的,因为具有同一值的元素必然插在具有同一值得前一个元素的后面,即相对次序不变.

（4）结构的复杂性及适用情况

插入排序是一种简单的排序方法,他不仅适用于顺序存储结构(数组),而且适用于链接存储结构,不过在链接存储结构上进行直接插入排序时,不用移动元素的位置,而是修改相应的指针。

 

2．哨兵的作用
    　算法中引进的附加记录R[0]称监视哨或哨兵(Sentinel)。
   　 哨兵有两个作用：
　　① 进人查找(插入位置)循环之前，它保存了R[i]的副本，使不致于因记录后移而丢失R[i]的内容；
　　② 它的主要作用是：在查找循环中"监视"下标变量j是否越界。一旦越界(即j=0)，因为R[0].key和自己比较，循环判定条件不成立使得查找循环结束，从而避免了在该循环内的每一次均要检测j是否越界(即省略了循环判定条件"j>=1")。
  注意：
　  ① 实际上，一切为简化边界条件而引入的附加结点(元素)均可称为哨兵。
　　  【例】单链表中的头结点实际上是一个哨兵
　　② 引入哨兵后使得测试查找循环条件的时间大约减少了一半，所以对于记录数较大的文件节约的时间就相当可观。对于类似于排序这样使用频率非常高的算法，要尽可能地减少其运行时间。所以不能把上述算法中的哨兵视为雕虫小技，而应该深刻理解并掌握这种技巧。

给定输入实例的排序过程

    　设待排序的文件有8个记录，其关键字分别为：49，38，65，97，76，13，27，49。为了区别两个相同的关键字49，后一个49的下方加了一下划线以示区别。其排序过程见【动画模拟演示】

算法分析

1．算法的时间性能分析 
    　对于具有n个记录的文件，要进行n-1趟排序。
    各种状态下的时间复杂度：
┌─────────┬─────┬──────┬──────┐
│ 初始文件状态     │   正序   │     反序   │无序(平均)  │
├─────────┼─────┼──────┼──────┤
│ 第i趟的关键      │   1      │     i+1    │ （i-2）/2  │
│ 字比较次数       │          │            │            │
├─────────┼─────┼──────┼──────┤
│总关键字比较次数  │   n-1    │(n+2)(n-1)/2│ ≈n²/4     │
├─────────┼─────┼──────┼──────┤
│第i趟记录移动次数 │   0      │ i+2        │ （i-2）/2  │
├─────────┼─────┼──────┼──────┤
│总的记录移动次数  │   0      │(n-1)(n+4)/2│ ≈n²/4     │
├─────────┼─────┼──────┼──────┤
│时间复杂度        │  0（n）  │ O（n²）    │ O（n²）    │
└─────────┴─────┴──────┴──────┘
注意：
    　初始文件按关键字递增有序，简称"正序"。
　    初始文件按关键字递减有序，简称"反序"。

2．算法的空间复杂度分析
    　算法所需的辅助空间是一个监视哨，辅助空间复杂度S(n)=O(1)。是一个就地排序。

3．直接插入排序的稳定性
    　直接插入排序是稳定的排序方法。