完全背包详解（最优方法）

4、O(VN)的算法

伪代码

for (int i = 1;i <= N;i++)
{
    for (int v = weight[i];v <= V;v++)
    {
        f[v] = max(f[v],f[v - weight[i]] + Value[i]);
    }
}

分析：这和01背包的伪代码很相似，在01背包的代码中，v变化的区间是逆序循环的，即[V,Weight[i]]。而这里，v变化的区间是顺序循环的，即为[Weight[i],V]。

原因：

再次给出定义：

f[i][v]表示把前i件物品放入容量为v的背包时的最大代价。

f[i-1][v-c[i]]表示把前i - 1件物品放入容量为v的背包时的最大代价.

在01背包中，v变化的区间是逆序循环的原因：要保证由状态f[i-1][v-c[i]]递推状态f[i][v]时，f[i-1][v-c[i]]没有放入第i件物品。之后，在第i循环时，放入一件第i件物品。

01背包的方程：

f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - weight[i]] + Value[i])

在完全背包中，v变化的区间是顺序循环的原因：完全背包的特点是每种物品可选无限件，在求解加选第i种物品带来的收益f[i][v]时，在状态f[i][v-c[i]]中已经尽可能多的放入物品i了，此时在f[i][v-c[i]]的基础上，我们可以再次放入一件物品i，此时也是在不超过背包容量的基础下，尽可能多的放入物品i。

完全背包的方程：

f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i][v - weight[i]] + Value[i]);

举例：

物品个数N = 3，背包总容量为V = 5。

物品信息：

完全背包：

分析：

i = 2，表示正在处理第2件物品。在求解f[2][4]时，如果要计算把第2件物品放入背包后的代价时，我们需要知道f[2][2],此时f[2][2]中已经尽全力放入第2件物品了（已经放入一件）。此时此刻还可以在放入一件第2件物品，在背包容量为4时，最多可以放入两件第二件物品。

总结下，f[i][v]:表示在背包容量为v时，尽全力的放入第i件物品的代价。f[i][v - weight[i]]:表示在背包容量为v - weight[i]时，尽全力的放入第i件物品的代价。因此由f[i][v - weight[i]]转换为f[i][v]时，也是在f[i][v - weight[i]]的基础上有加入了一件物品i。

为了节省保存状态的空间，可以直接使用一维数组保存状态。

代码：迭代方程：f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i][v - weight[i]] + Value[i]);

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 3;
const int V = 5;//5
int weight[N + 1] = {0,3,2,2};
int Value[N + 1] = {0,5,10,20};

int f[N + 1][V + 1] = {0};

int Completeknapsack()
{
    //初始化
    for (int i = 0;i <= N;i++)
    {
        f[i][0] = 0;
    }
    for (int v = 0;v <= V;v++)
    {
        f[0][v] = 0;
    }
    for (int i = 1;i <= N;i++)
    {
        for (int v = weight[i];v <= V;v++)
        {
            f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i][v - weight[i]] + Value[i]);
        }
    }
    return f[N][V];
}

int main()
{
    cout<
    system("pause");
    return 1;
}

代码：迭代方程： f[v] = max(f[v],f[v - weight[i]] + Value[i]);

#include
using namespace std;
const int N = 3;
const int V = 5;//5
int weight[N + 1] = {0,3,2,2};
int Value[N + 1] = {0,5,10,20};

int f[V + 1] = {0};

int Completeknapsack()
{
    f[0] = 0;
    for (int i = 1;i <= N;i++)
    {
        for (int v = weight[i];v <= V;v++)
        {
            f[v] = max(f[v],f[v - weight[i]] + Value[i]);
        }
    }
    return f[V];
}
int main()
{
    cout<
    system("pause");
    return 1;
}