剑指offer 07 --斐波那契数列

斐波那契数列

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知识点：递归和循环

题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。n<=39

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思路1-递归

• 斐波那契数列的定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）*

代码

class Solution:
    def Fibonacci(self, n):
        if n == 0:
            return 0
        elif n == 1:
            return 1
        else:
            return self.Fibonacci(n-1) + self.Fibonacci(n-2)

存在的问题： 效率太低 ，满足不了oj的效率要求。且 有很多重复计算！

思路2-循环

• 从下往上计算，从0，1一直叠加到n，就像人工做计算那样，从而避免重复

class Solution:
    def Fibonacci(self, n):
        if n == 0:
            return 0
        elif n == 1:
            return 1
        else:
            fib0 = 0
            fib1 = 1
            for _ in range(2, n+1):
		fib0, fib1 = fib1, fib0 + fib1 #swap操作
            return fib1

跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路

• 从后往前看，青蛙某次可以是在之前跳了(n-1)级的基础上，再跳了1级到达第n级，也可以是在之前跳了(n-2)级的基础上，再跳了2级到达第n级
• ……依次类推，f(1) = 1, f(2) = 2,f(n) = f(n-1) + f(n-2),(n>=2，n∈N*）发现其实是一个斐波那契数列。

代码

class Solution:
    def jumpFloor(self, number):
        # f(1) = 1,  f(2) = 2 
        if number <= 2:
            return number
        else:
            fib1 = 1
            fib2 = 2
            for _ in range(3, number+1):
                fib1, fib2 = fib2, fib1+fib2
            return fib2

变态跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路

• 思路与上一题类似，只不过在第n次时，要考虑到前面的各种情况，也就是说，到第n个台阶之前，可以是从（0）一步登天过来的，也可以是从（1）跳过来的，也可是从（2）跳过来的，把各种情况加起来。

• 思考时是从n往前思考，但实现时，要从前往后累加，避免重复计算。

代码

class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # f(n)   = once + f(1) + f(2) + ... + f(n-3) + f(n-2) + f(n-1)
        # f(n-1) = once + f(1) + f(2) + ... + f(n-3) + f(n-2)
        # f(n-2) = once + (1) + f(2) + ... + f(n-3)
        # ...
        # f(4) = once + f(1) + f(2) + f(3)
        # f(3) = once + f(1) + f(2)
        # f(2) = once + f(1)
        # f(1) = once
        # once = 1
        # 前面加上once表示考虑到之前未跳过，一次就跳到这一级的情况,once应该为1
        return 2 ** (number-1)

其实观察一下，就能发现f(n) = 2 ^ (n-1)

矩形覆盖问题（铺瓷砖问题）

要求

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

思路

宽度为n，可以用一个小矩形竖着放，占据1宽度，也可以用两个小矩形横着放，占据2宽度。还是跳台阶问题！

代码

class Solution:
    def jumpFloor(self, number):
        # f(1) = 1,  f(2) = 2 
        if number <= 2:
            return number
        else:
            fib1 = 1
            fib2 = 2
            for _ in range(3, number+1):
                fib1, fib2 = fib2, fib1+fib2
            return fib2