Fibonacci 查找

Fibonacci 数列

Fibonacci 数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：

1 1 2 3 5 8 13 21 ····

数学上，Fibonacci 数列递归定义：

F(1)=1，F(2)=1，F(n) = f(n-1) + F(n-2) （n>=2）

该数列越往后相邻的两个数的比值越趋向于黄金比例值（0.618）

Fibonacci 查找

• 构建 Fibonacci 数列
• 扩展数组 a，用 a[n-1] 填充后面的数组
• mid = F[k-1] - 1，比较 temp[mid] 与 key
  • key < temp[mid]，落在前半部分，k -= 1，待查找的数列长度变为 F[k-1]
  • key > temp[mid]，落在后半部分，k -= 2，待查找的数列长度变为 F[k-2]
  • key = temp[mid]，比较 mid 与 n，mid >= n 说明落在扩展的数列上，返回 n-1

与二分查找的区别

• 二分查找与 key 比较的数的下标： (left + right) / 2
• Fibonacci 查找与 key 比较的数的下标 F[k] - 1，都是 fibonacci 数列上的
  因为 F[k] 表示元素个数，-1 之后才表示下标

#include  

using namespace std;

#define MAX_SIZE 20 // 斐波那契数组的长度，4181足够了

/**
 * 斐波那契查找
 * @param a: 要查找的数组
 * @param n: 数组 a 的长度
 * @param key: 要查找的关键字
 * @return 要查找的 key 在数组中的下标
 */
int fibonacciSearch(const int *a, int n, int key) {

    // 构建 Fibonacci 数列 F
    int F[MAX_SIZE];
    F[0] = 0;
    F[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAX_SIZE; ++i)
        F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];

    // 在数列中寻找合适的数组长度 F[k]等于或刚刚大于n
    int k = 2;
    while (n > F[k]) ++k;

    // 扩展数组a，并用 a[n-1] 填充后面的数组
    int temp[F[k]];
    for (int i = 0; i < n; ++i) temp[i] = a[i];
    for (int i = n; i < F[k]; ++i) temp[i] = a[n - 1];

    // 查找
    int low = 0;
    int high = n - 1;
    while (low <= high) {
        int mid = low + F[k - 1] - 1;   // 第F[k - 1]个数的下标
        if (key < temp[mid]) {          // 左边
            high = mid - 1;
            k -= 1; // F[k-1]是前半部分数组长度
        } else if (key > temp[mid]) {   // 右边
            low = mid + 1;
            k -= 2; // F[k-2]是后半部分数组长度
        } else { // 相等，判断 mid 位置
            if (mid < n)
                return mid;
            else
                return n - 1;
        }
    }

    return -1;
}

void printArray(const int *a, int len) {
    for (int i = 0; i < len; ++i) {
        cout << a[i] << " ";
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    int a[10] = {0, 16, 24, 35, 47, 59, 62, 73, 88, 99};
    printArray(a, 10);
    cout << "查找：";
    int key;
    cin >> key;
    cout << "位置：" << fibonacciSearch(a, 10, key);
    return 0;
}

0 16 24 35 47 59 62 73 88 99 
查找：47
位置：4