【编程马拉松】【004-包含一】

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1 题目描述

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　　NowCoder总是力争上游，凡事都要拿第一，所以他对“1”这个数情有独钟。爱屋及乌，他也很喜欢包含1的数，例如10、11、12……。你能帮他统计一下有多少个包含1的正整数吗？

1.1 输入描述:

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　　输入有多组数据，每组数据包含一个正整数n，(1≤n≤2147483647)。

1.2 输出描述:

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　　对应每组输入，输出从1到n（包含1和n）之间包含数字1的正整数的个数。

1.3 输入例子:

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1
9
10
20

1.4 输出例子:

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1
1
2
11

2 解题思路

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　　假设有数字 X(n)=xnxn−1…x2x1x0 ， xi 上的权重是 10i 。
　　先考虑 0～9n9n−1…929190 ，中出现1的数字个数，假设它是 P(n) ，它由三部分组成：
　　- 0～9n−1…929190 ，含有1的数字数目是 P(n−1)
　　- 1n0n−1…929190～1n9n−1…929190 ，含有1的数字数目是 10n−1
　　- 1<ji<xi ， ji0i−1…020100 ji9i−1…929190 中含有1的数字数目是 P(n−1) ， ji 可以取8个数字。
　　所以 P(n−1)=P(n−1)+10n−1+8∗P(n−1)=9∗P(n−1)+10n−1 ，又 n=0 时， P(n)=1 ，综上有：

P(n)={19∗P(n−1)+10n−1n=0n>0

　　再考虑 X(n) ，从右到左处理 X(n) 上的每一位，假设当前处理第i位。则要分三种情况：
　　第一种： xi=0 ，则 xixi−1…x2x1x0 与 xi−1…x2x1x0 含有1的数字个数相同，则 F(i)=F(i−1) 。
　　第二种： xi=1 ，则 xixi−1…x2x1x0 包含1的由两部分组成:
　　　　- 0～9i−1…929190 中含有1的数字数，为 P(i−1)
　　　　- xi0i−1…020100～xixi−1…x2x1x0 中含有1的数字，为 X(i−1)+1
　　则有 F(i)=P(i−1)+X(i−1)+1
　　第三种： xi>1 ，则 xixi−1…x2x1x0 包含1的由四部分组成：
　　　　- 0～xi−1…x2x1x0 中含有1的数字数，为 P(i−1)
　　　　- 1i0i−1…020100～1i9i−1…929190 中含有1的数字数，为 10i−1
　　　　- 1<ji<xi ， ji0i−1…020100～ji9i−1…929190 中含有1的数字数，为 P(i−1) 。j_i可以取 xi−2 个
　　　　- xi0i−1…020100 xixi−1…x2x1x0 中含有1的数字，为 F(i−1)
　　则有 F(i−1)=P(i−1)+10i−1+(xi−2)P(i−1)+F(i−1)=(xi−1)P(i−1)+10i−1+F(i−1)
　　综合有：
　　当 n=0 时， X(n)=x0

F(n)=1

　　当 n>0 时， X(n)=xnxn−1…x2x1x0

F(n)=⎧⎩⎨F(n−1)P(n−1)+X(n−1)+1(xn−1)P(n−1)+10n−1+F(n−1)xn=0xn=1xn>1

3 算法实现

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import java.util.Scanner;

/**
 * Author: 王俊超
 * Time: 2016-05-06 17:52
 * CSDN: http://blog.csdn.net/derrantcm
 * Github: https://github.com/Wang-Jun-Chao
 * Declaration: All Rights Reserved !!!
 */
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
//        Scanner scanner = new Scanner(Main.class.getClassLoader().getResourceAsStream("data.txt"));
        while (scanner.hasNext()) {
            int n = scanner.nextInt();
            System.out.println(countOne(n));
        }

        scanner.close();
    }

    /**
     * 【方法一】
     * 计算[1-n]中包含数字1的数字个数
     *
     * @param n 最在范围
     * @return 包含数字1的数字个数
     */
    private static int countOne(int n) {

        int countedN = 0;
        int result = 0;

        // 从右向左分析n的每一位；for循环中：i 表示分析到了哪一位，i=1表示个位，i=10表示十位，以此类推；
        // onesPerI 表示从0到i-1含有1的数的个数，0，1，19 ...；
        // cur 是目前分析的那一位的数值；
        // 举个例子： f(m,n) 表示从m到n，含有1的数字的个数。
        // f(1,500) = f(1, 99)+f(100, 199)+f(200, 299)+(300, 399)+f(400, 499)
        // f(1, 99) = f(200, 299) = f(300, 399) = f(400, 499)
        // f(100, 199) = 100
        for (int i = 1, onesPerI = 0, cur; n != 0; onesPerI = onesPerI * 9 + i, i *= 10, n /= 10) {

            // 当前数位的数值
            cur = n % 10;

            if (cur == 0) {
                continue;
            } else if (cur == 1) {
                // onesPerI表示[1, i-1]含有1的个数，countedN表示比
                result = onesPerI + countedN + 1;
            } else {
                result += (cur - 1) * onesPerI + i;
            }

            // 表示比第i位以及比第i位低的各位的数值，比如abcdef，现在处理万位，那么countN就是bcdef
            countedN += cur * i;

        }

        return result;
    }

}

4 测试结果

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5 其它信息

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因为markddow不好编辑，因此将文档的图片上传以供阅读。Pdf和Word文档可以在Github上进行【下载>>>】。