背包问题之退背包

背包问题之退背包

退背包就是从可选物品中删除其中一个物品，问满足所取总价值为 $j$ 的方案数。

像普通背包一样，退背包先普通dp以下，然后退去所选物品。

对于01背包，假设$dp[i]$为未退背包前满足所取总价值为 $i$ 的方案数。$d{p}^{\prime }[i]$ 为退去第$x$个物品后满足所取总价值为$i$的方案数，那么 dp方程为

• 当$i<w[x]$时，$d{p}^{\prime }[i]=dp[i]$
• 当$i\ge w[x]$时，$d{p}^{\prime }[i]=dp[i]-d{p}^{\prime }[i-w[x]]$

代码表示：

for(int i=w[x];i<=m;++i) dp[i]-=dp[i-w[x]];

对于多重背包，假设$dp[i]$为未退背包前满足所取总价值为 $i$ 的方案数。$d{p}^{\prime }[i]$ 为退去第$x$个物品后满足所取总价值为$i$的方案数，那么 dp方程为

• 当$i<w[x]$时，$d{p}^{\prime }[i]=dp[i]$
• 当$i\ge w[x]$时，$d{p}^{\prime }[i]=dp[i]-dp[i-w[x]]$

代码表示：

for(int i=m;i>=w[x];--i) dp[i]-=dp[i-w[x]];

不难看出，其实这就是普通背包DP过程的逆过程。

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