knapsack

本文源于背包九讲，主要讲述最为基本的三种背包问题，并分析彼此之间的联系，最终找到一个“通用”的思维方式。首先会给出一个基本的解决方案，之后再思考如何“思考”出这种方案。

1，01背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

因为有N件物品，每件有两种选择，放或不放，以dp[i][j]表示前i件物品在体积j的背包中所获得的最大价值，得到简单关系： , 关键有两点：

• 如何表示子问题（dp[i][j]）
• 找到状态方程

思维过程

最终的最优解就是N个物品中选取M个的组合，只要找到特定的M个组合即可，这将是一个2^N的问题，问题太多，此时我们换个思路（关键来了），原问题为1，2，3...N, 最优解为n1,n2,n3...nM, 此时我们既不知道结尾的nM，也不知道开头的n1，那意味着我们要进行遍历，此时我们以结尾为例，假设他们以i结尾，即前i个物品所获得的最大值，此时再添加上限制条件j，从而得到子问题---dp[i][j]。
剩下的状态方程就显而易见了。

2，完全背包

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

由于都是整数，所以每件物品的最高数目是有限制的（V/c[i]），看似“无限”的问题转化为“有限”，如果构造一个加长数组的话，就是01背包。但是我们还有更优的算法。

思维过程

不要考虑01背包，完全当作一个新的题目，还是先从最后的结果来推到。最优解必然是选了m件物品，每件有一定的数量，显然考虑组合的情况太多，换个思路，对于每件物品要么选了要么没选，自然为了确定最后一个被选的物品我们需要遍历，dp[i][j]表示前i件在体积j中的最优解。状态方程的思路任然是第i件要么在里面，要么不在里面（注意这里的“在里面”意味着可以有多件，与01中的“可选”，“可不选”区分），从而dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-c[i]]+w[i]).

3, 多重背包

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

好吧，和完全背包一模一样，转化为01背包即可。利用2进制可以进行简单的优化，就不多讲了。
(0<=k<=n[i]), 当k=1时就是01背包问题，所以01背包只是多重背包的一个特例而已，但两者背后的“思维过程”是一致的。同理，完全背包与多重背包非常类似（至于谁是谁的特例不好说），所以二者的基本解决方案是一致的。