Python数据结构：树形结构

树

由一个根节点和子节点组成的结构。子节点个数可以为0。
若每个根节点z最多有可以有$n$个子节点，那么它就叫做$n$叉树。

二叉树

为什么使用二叉树

一般树形结构在计算机中的存储方式是以链表为主。

假设一个$n$叉树，共有$m$个节点（根节点加上子节点）。
那么它们一共会有$mn$个链接。
但是实际上只会用到$m-1$个链接。

空置的链接数为$m(n-1)+1$
空置率为$(m(n-1)+1)/mn$

所以当$n$越大，链接空置率越高。

2叉树的链接空置率大概为$1/2$
3叉树的链接空置率大概为$2/3$
4叉树的链接空置率大概为$3/4$

所以使用2叉树能够最大限度的利用链接。

二叉树最多只有两个节点：左节点和右节点。

满二叉树
高度为$h$，节点数为$2^h-1$的树。
也就是说二叉树的每一层都放满了。

完全二叉树
每一层都从上往下，从左往右的存放节点。

斜二叉树
完全没有左子树或者右子树。

严格二叉树
每一个父节点都有两个子节点。

二叉树的存储方式：

一维数组
父节索引为i，左子节点索引为$(2i+1)$，右子节点索引为$(2i+2)$
链表
每个节点都是一个类的实例，实例有3个属性，分别是value（值），left（左节点指针），right（右节点指针）

二叉查找树

二叉查找树具有以下特点：

1. 可以是空集。
2. 每一个树根的值要大于左节点的值 。
3. 每一个树根的值要小于右节点的值 。
4. 左右子树也是二叉查找树 。
5. 树的每个节点的值都不同。

二叉树的遍历

前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。
前中后序遍历实际上指的是树根节点访问的顺序，树根在前为前序，树根在中为中序，树根在后为后序。

使用递归函数能很快的实现这三种遍历。
前序遍历
访问顺序为：中左右
访问树根>访问左子树>访问右子树

def preorder(ptr):
    if ptr!=None:
        print(ptr.value)
        preorder(ptr.left)
        preorder(ptr.right)

中序遍历
访问顺序为：左中右
访问访问左子树>树根>访问右子树

def inorder(ptr):
    if ptr!=None:
        preorder(ptr.left)
        print(ptr.value)
        preorder(ptr.right)

后序遍历
访问顺序为：左右中
访问访问左子树>访问右子树>树根

def inorder(ptr):
    if ptr!=None:
        preorder(ptr.left)
        preorder(ptr.right)
        print(ptr.value)

层次遍历
从上往下，从左往右的遍历二叉树。
可以用广度优先遍历来实现。
先遍历根节点，然后将左右子节点压入队列，再弹出队列的第一个元素，压入该节点的左右子节点，重复以上过程。

二叉树的删除

分三种情况：

1. 删除的节点为叶节点：直接将其父节点指向None
2. 删除的节点只有一颗子树，直接将该节点的父节点和该节点的子节点相连。
3. 删除的节点有2颗子树：有两种处理方法：
   a. 将该节点用该节点的左子树中的最大值取代（一直往右找，直到为None）
   b. 将该节点用该节点的右子树中的最小值取代（一直往左找，直到为None）

二叉运算数

感觉用不上，略。

线索二叉树

将二叉树中闲置的节点利用起来，左指针指向上一个节点，右指针指向下一个节点，这样在遍历的时候，就不用使用递归就可以直接遍历二叉树。
同样感觉用的不多，略。

多叉树和森林转换成二叉树

树转化成二叉树：CHILD-SIBLING法则。

确定唯一二叉树

若知道中序和前序 或者 中序和后序的遍历结果，就能确定唯一的二叉树。

优化查找二叉树

在所有可能的二叉树中，成本最小的二叉树。

扩充二叉树

$n$个节点的二叉树中有$n-1$个链接是使用的，有$n+1$个链接是闲置的。
在这$n+1$个闲置的位置上添加一个节点，这些节点叫做“外节点”。其它的节点叫做“内节点”。
内径长：所有内节点到树根距离的总和
外径长：所有外节点到树根距离的总和
加权外径长：若每个外节点都有一个权重，那么权重乘距离的和叫加权外径长。

霍夫曼树

叶节点上存放着信息。对应每个叶节点都有一个权值。霍夫曼树外径长最小。
这样大权重的数据会被优先访问到。

平衡二叉树

AVL树。
每次插入数据或者删除数据后，必要时会对二叉树做一些高度的调整。
平衡树的定义：二叉树的左右子树都是平衡树，二叉树左右子树高度差不超过1。
将非平衡树调整为平衡树
找到非平衡树中的不平衡点，将它边为平衡。
不平衡点主要分$LL,RR,LR,RL$四种类型。
我们只需要将对应的类型调整为平衡二叉树即可。

B树

二叉查找树的扩展。

每个二叉查找树的节点都有一个值，且满足父节点的值大于左子节点，小于右子节点。

若有这样一种树：每个节点可以存有a，b个值，且每个每个节点存在3个链接，左链接的值都小于a，右链接的值都大于b，中链接的值在a，b之间。
同理，若每个节点可以存放$n-1$个值，存在$n$个链接，数据存放规则同上，那么这样的树就叫做B树

参考书籍：《图解数据结构–使用Python》
部分代码请点击