BZOJ3143：[Hnoi2013]游走 （高斯消元+概率DP）

题目传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3143

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题目分析：很久之前就对这种高斯消元解DP值的题目有一种莫名的恐惧，因为它明明是DP却没有递推顺序因为我对概率论一窍不通。学了高消之后，我YY了一下这题的DP方程，发现一直过不了样例。最后居然被tututu在旁边随便口胡一句就过了？！

本题要让我们自定每条边的权值，所以我们想知道经过每条边的期望次数，这样就能算出答案。然而边数很多，而每条边只连接两个点 。如果能算出经过每个点的期望次数，那么每个点（除n号点）在被走过一次之后，就会等概率地走和它相邻的边，就能算出边的期望了。

而要求经过每个点的期望次数，我们可以很容易YY出一个DP的转移：

f[i]=∑(i,j)∈e,j≠nf[j]deg[j] f [ i ] = ∑ ( i , j ) ∈ e , j ≠ n f [ j ] d e g [ j ]

其中deg[j]表示j的度数。

f[n]由于对任何值都没有贡献，直接设为0。

由于1号点一开始就走了一次，所以f[1]的式子右边要+1。

然后上高斯消元即可。

总结一下这类题的套路：首先YY出一个能转移的DP方程，发现它是无序的，所以要用高斯消元计算。重点是要注意一些边界问题，比如本题中f[n]不能转移出去，f[1]右边要+1等等。我一开始也是因为没有考虑好边界，一直算不过样例。当有了初步的想法之后，可以用样例算一下，验证自己的正确性。

最后吐槽一句：我发现我写的高斯消元模板精度好差。这题我死活被卡精度，调了好久eps都不行，只好用long double。别人好像完全没有这个问题QAQ。

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CODE：

#include
#include
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#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=510;
const long double eps=1e-10;
typedef long double LD;

LD a[maxn][maxn];
LD f[maxn];

struct data
{
    int u,v;
    LD g;
} e[maxn*maxn];

int deg[maxn];
int n,m;

LD Abs(LD x)
{
    if (x>0.0) return x;
    return -x;
}

int Gauss()
{
    int R,r=1,c=1;
    while ( r<=n && c<=n )
    {
        R=r;
        for (int i=r+1; i<=n; i++)
            if ( Abs(a[i][c])>Abs(a[R][c]) ) R=i;

        if ( Abs(a[R][c])<=eps ) r--;
        else
        {
            for (int j=c; j<=n+1; j++) swap(a[R][j],a[r][j]);
            for (int i=r+1; i<=n; i++)
                if ( Abs(a[i][c])>eps )
                {
                    for (int j=c+1; j<=n+1; j++)
                        a[i][j]=a[i][j]/a[i][c]-a[r][j]/a[r][c];
                    a[i][c]=0.0;
                }
        }

        r++;
        c++;
    }

    for (int i=r; i<=n; i++)
        if ( Abs(a[i][n+1])>eps ) return -1;
    if (r<=n) return n-r+1;

    for (int i=n; i>=1; i--)
    {
        for (int j=i+1; j<=n; j++) a[i][n+1]-=a[i][j]*f[j];
        f[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
    }
}

bool Comp(data x,data y)
{
    return x.gint main()
{
    freopen("3143.in","r",stdin);
    freopen("3143.out","w",stdout);

    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d",&e[i].u,&e[i].v);
        deg[ e[i].u ]++;
        deg[ e[i].v ]++;
    }

    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        if (e[i].u!=n) a[ e[i].v ][ e[i].u ]=1.0/(LD)deg[ e[i].u ];
        if (e[i].v!=n) a[ e[i].u ][ e[i].v ]=1.0/(LD)deg[ e[i].v ];
    }
    for (int i=1; i1.0;
    a[1][n]=-1.0;

    n--;
    Gauss();
    n++;
    f[n]=1.0;

    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        e[i].g=0.0;
        if (e[i].u!=n) e[i].g+=f[ e[i].u ]/(LD)deg[ e[i].u ];
        if (e[i].v!=n) e[i].g+=f[ e[i].v ]/(LD)deg[ e[i].v ];
    }
    sort(e+1,e+m+1,Comp);

    LD ans=0.0;
    for (int i=1; i<=m; i++) ans+=(LD)i*e[m-i+1].g;
    printf("%.3Lf\n",ans);

    return 0;
}