洛谷P4245：【模板】MTT （拆系数+FFT）

题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4245

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题目分析：为什么同一道题的题解我写了两篇blog？当然是因为这是两种不同的方法骗访问量啊。

今天终于写了传闻已久的拆系数+FFT。大概就是令 sp=⌈p–√⌉ s p = ⌈ p ⌉ ，然后将两个多项式按除以 sp s p 和模 sp s p 的结果分成两个多项式。最后将这四个多项式两两相乘，再加权即可。由于FFT的计算结果可能达到 1014 10 14 ，要预处理单位复数根以保证精度。

其实上面的算法框架不难，如何降低DFT的次数才是关键。如果对四个多项式分别进行DFT，两两相乘后的结果再IDFT，需要8倍DFT的常数。myy的论文中给出了一种用一次DFT同时计算两个实序列在单位复数根处的点值的方法，可以将4次DFT优化到2次。而只要令 FP=DFTA+i∗DFTB F P = D F T A + i ∗ D F T B ，再对 FP F P 做IDFT， A(x) A ( x ) 和 B(x) B ( x ) 就会分别变成 P(x) P ( x ) 的实部和虚部。利用这个方法就可以将IDFT的次数同样减小为2次。

由于三模数NTT需要做9次模意义下的DFT，而拆系数+FFT只需要做4次复数意义下的DFT，后者的速度完爆前者。本题中我写的代码，用前一种方法运行总耗时约12500ms，而后一种方法只要2200ms。

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插一句题外话，今晚sc给了我一道很妙很妙的题。大概是说如何用1~12辨别两个1~920的数字x,y。我们发现 C612=924 C 12 6 = 924 ，于是可以将每个数映射到一种选取方案，然后记第一个x选了而y没有选的物品。

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CODE：

#include
#include
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#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=1000000;
const double pi=acos(-1.0);
typedef long long LL;

struct Complex
{
    double X,Y;
    Complex (double a=0.0,double b=0.0) : X(a),Y(b) {}
} ;

Complex operator+(Complex a,Complex b){return Complex(a.X+b.X,a.Y+b.Y);}
Complex operator-(Complex a,Complex b){return Complex(a.X-b.X,a.Y-b.Y);}
Complex operator*(Complex a,Complex b){return Complex(a.X*b.X-a.Y*b.Y,a.X*b.Y+a.Y*b.X);}

Complex P[maxn];

vector  w[maxn];
int Rev[maxn];
int N,Lg;

Complex A[maxn];
Complex B[maxn];
Complex C[maxn];
Complex D[maxn];

int F[maxn];
int G[maxn];

int n,m;
LL p,sp;

void DFT(Complex *a,double f)
{
    for (int i=0; iif (ifor (int len=2; len<=N; len<<=1)
    {
        int mid=(len>>1);
        for (Complex *p=a; p!=a+N; p+=len)
            for (int i=0; ivoid FFT(int *a,Complex *b,Complex *c)
{
    for (int i=0; idouble)(a[i]/sp),(double)(a[i]%sp));
    DFT(P,1.0);
    for (int i=0; i1.0;
    }
    for (int i=0; i2.0; b[i].Y/=2.0;
        c[i]=P[i]-c[i];
        c[i].X/=2.0; c[i].Y/=2.0;
        swap(c[i].X,c[i].Y);
        c[i].Y*=-1.0;
    }
}

int main()
{
    freopen("4245.in","r",stdin);
    freopen("4245.out","w",stdout);

    scanf("%d%d%I64d",&n,&m,&p);
    for (int i=0; i<=n; i++) scanf("%d",&F[i]),F[i]%=p;
    for (int i=0; i<=m; i++) scanf("%d",&G[i]),G[i]%=p;

    N=1,Lg=0;
    while (N4) N<<=1,Lg++;
    for (int i=0; ifor (int j=0; jif (i&(1<1<<(Lg-j-1));

    int len=1;
    while ((len<<1)<=N)
    {
        for (int i=0; idouble ang=(double)i*pi/len;
            w[len].push_back( Complex( cos(ang) , sin(ang) ) );
        }
        len<<=1;
    }

    sp=1;
    while (sp*spfor (int i=0; ifor (int i=0; i1.0;
        swap(B[i].X,B[i].Y);
        P[i]=A[i]+B[i];
    }
    DFT(P,-1.0);
    DFT(C,-1.0);

    for (int i=0; i<=n+m; i++)
    {
        P[i].X/=((double)N);
        P[i].Y/=((double)N);
        C[i].X/=((double)N);
        LL ans=(long long)floor( P[i].X+0.5 )%p*(sp*sp%p);
        ans=(ans+ (long long)floor( P[i].Y+0.5 )%p*sp%p )%p;
        ans=(ans+ (long long)floor( C[i].X+0.5 )%p )%p;
        printf("%I64d ",ans);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}